Drupal | Information

Created: 17.11.2010 | Level: for all | Access: free

В курсе рассматриваются основные понятия математического анализа. Теоретический материал проиллюстрирован множеством примеров.

В материалах курса освещены следующие вопросы: множества и отображения, описание вещественных чисел, компактные множества, последовательности, подпоследовательности, предел последовательности, числовые последовательности, частичные пределы, сходимость числовых последовательностей, предел функции, непрерывность функции, свойства непрерывных функций, прерывные функции на компактном множестве, "Замечательные" пределы, производная функции одной переменной, формула Тейлора, теоремы Ролля и Лагранжа, частные производные, смешанные производные, понятия градиента и Гессиана, экстремумы функции при наличии, рассматриваются задачи на поиск экстремума функции при ограничениях, функциональные последовательности, функциональные ряды дифференциальные уравнения, задача Коши и ее решение.

Supplementary courses Introduction to Mathematics Practice on Introduction to Mathematics Mathematical analysis Higher Mathematics for Mathcad Introduction in Mathematical Analysis

Вам нравится? Нравится 21 students like this

| Share |

Поддержать программу

Lesson	Title <<	Date
	Экзамен экстерном	-
Lecture 1	Множества и отображения В лекции подробно рассматриваются множества, дается определение отображения, мощности множеств. Contents Введение Множества Понятие множества, элементов множества, подмножеств Операции с множествами: объединение, пересечение, дополнение Декартово произведение множеств Отображения Определение отображения, понятие образа и прообраза множества Суперпозиция отображений Взаимно однозначное отображение, обратное отображение Мощность множества Понятие равномощности множеств Множества, имеющие разные мощности Счетные множества Определение счетного множества. Примеры Свойства счетных множеств Минимальность» счетных множеств: любое подмножество счетного множества конечно или счетно Существование несчетных множеств. Несчетность отрезка [0,1] . Мощность континуума	-
Lecture 2	Вещественные числа Лекция посвящена подробному описанию вещественных чисел. Contents Введение Расширение понятия о числе: натуральные, целые, рациональные числа Необходимость вещественных чисел Краткая теория вещественных чисел: теория сечений Дедекинда Верхняя и нижняя грань подмножества множества вещественных чисел Теорема о вложенных отрезках	-
Тест 1 36 minutes	12 tasks	-
Lecture 3	Пространство R^k. Свойства множеств в R^k В лекции вводится понятие множества Rk, определяются его свойства. Рассматриваются такие понятия, как шар и параллелепипед в пространстве Rk. Contents Введение Пространство Rk Определение Rk Операции с элементами пространства Расстояние между элементами пространства Свойства расстояния между элементами Понятие шаров и параллелепипедов в пространстве Rk Открытый параллелепипед Отрезок в пространстве Rk Свойства множеств пространства Rk Классификация точек множеств в Rk Открытое множество Свойства открытых множеств Замкнутое множество Дополнение к множеству Утверждение о существовании границы у подмножества пространства Rk Изолированная точка Предельные точки	-
Lecture 4	Свойства множеств в Rk. Компактные множества Лекция вводит понятия предельных и граничных точек, а также определение замкнутого множества. Вводится важное понятие компактного множества. Contents Введение Предельные точки. Граничные точки Эквивалентное определение замкнутого множества Компактные множества Ограниченное множество Определение компактного множества Утверждение о пересечении не пустых вложенных компактных множествах	-
Тест 2 30 minutes	10 tasks	-
Lecture 5	Последовательности. Предел последовательности В лекции рассмотрены задачи на тему "Свойства множеств на числовой прямой в пространстве Rk". Раскрывается понятие последовательности и подпоследовательности. Вводится понятие числовой последовательности, рассмотрены ее свойства. Contents Введение Задачи Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Последовательности в Rk и R. Пределы Последовательности в Rk и R Определение последовательности в Rk Определение предела Свойства сходящихся последовательностей Подпоследовательности Определение Утверждение о сходящихся последовательностях Пример Частичные пределы Пример Числовые последовательности Определение Свойство 1. Переход к пределу в неравенствах Свойство 2 Арифметические свойства сходящихся последовательностей Монотонные последовательности Теорема о существование предела у ограниченной сверху монотонной последовательности Пример 1 Пример 2	-
Lecture 6	Задачи на сходимость последовательностей. Частичные пределы Лекция поможет усвоить тему "Сходимость числовых последовательностей". Рассматривается основные теоремы, используемые при установлении фактов, связанных со сходимостью последовательности подпоследовательности. Вводятся понятия верхнего и нижнего предела последовательности. Contents Введение Лемма о двух милиционерах Примеры Пример 1 Пример 2 Пример 3 Частичный предел числовой последовательности Теорема Больцано-Вейерштрасса Верхний и нижний пределы последовательности Теорема о существовании предела подпоследовательности в компактном множестве Пример	-
Тест 3 51 minute	17 tasks	-
Lecture 7	Критерий Коши. Предел функции. Непрерывность функции В лекции рассматриваются задачи, которые помогут усвоить изученный материал. А во второй части вы познакомитесь с фундаментальными последовательностями и необходимыми и достаточными условия сходимости последовательности, изучите свойства предела функции и свойства непрерывной функции. Contents Введение Задачи Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Фундаментальная последовательность. Критерий Коши Определение фундаментальной последовательности Критерий Коши Пример 1 Пример 2 Предел функции Предпосылки Определение предела по Коши Свойства функции имеющей предел Определение предела по Гейне Пример Арифметические свойства предела Пример Непрерывные функции Определение Свойства непрерывности Обратная функция	-
Lecture 8	Непрерывность функции. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Вы продолжите знакомство с непрерывными функциями, познакомитесь с фундаментальными свойствами непрерывных функций на компактном множестве. Contents Введение Обратная функция Базовые функции Понятие непрерывности функции на множестве Первая теорема Вейерштрасса Вторая теорема Вейерштрасса Теорема о промежуточном значении непрерывной функции Следствие теоремы о промежуточном значении непрерывной функции Задания	-
Тест 4 39 minutes	13 tasks	-
Lecture 9	Непрерывные функции на компактном множестве. "Замечательные" пределы В данной лекции завершается рассмотрение свойств непрерывных функций на компактном множестве. Вы познакомитесь с точками разрыва числовых функций 1-го и 2-го рода. В лекции подробно рассмотрены "замечательные" пределы. Contents Введение Теорема о функции на компактном множестве Пример Равномерно непрерывная функция Примеры Пример 1 Пример 2 Теорема Кантора Классификация точек разрыва числовых функций числового аргумента Предел функции слева Точка разрыва первого рода. Устранимый разрыв Точка разрыва второго рода Примеры Замечательные пределы	-
Lecture 10	Производная функции одной переменной В лекции приводятся примеры нахождения пределов функций, рассматривается геометрический смысл производной и уравнение касательной Contents Введение Примеры нахождение пределов функции Производная функции Определение Геометрический смысл производной. Уравнение касательной Пример Теорема о производной обратной функции Локальный экстремум Необходимое условие экстремума (теорема)	-
Тест 5 36 minutes	12 tasks	-
Lecture 11	Производная функции. Формула Тейлора. Выпуклость, вогнутость функции Продолжение изучения производной функции. Вводятся теоремы Ролля и Лагранжа, формула Тейлора. Рассматриваются свойства выпуклости, вогнутости функции. Contents Введение Необходимое условие экстремума Теорема Ролля Теорема Лагранжа Формула конечных приращений Вывод из теоремы Лагранжа Возрастание (убывание) функции Примеры Пример 1 Пример 2 Пример 3 Задача Производная n-го порядка Формула Тейлора Остаточный член в форме Лагранжа Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора Пример Выпуклость, вогнутость функции Достаточное условие выпуклости функции Пример	-
Lecture 12	Частные производные В лекции дается определение частной производной рассматривается дифференцируемость функции в точке. Contents Введение Задачи Задача 1 Задача 2 Исследование функции Частные производные Определение частной производной Дифференцируемость функции в точке Поверхность уровня	-
Тест 6 36 minutes	12 tasks	-
Lecture 13	Поверхность уровня функции нескольких переменных. Смешанные производные В лекции вводится понятие поверхности уровня, рассматриваются задачи на поиск экстремума функции. Вводится необходимое и достаточное условие экстремума. Вводится важные понятия градиента и Гессиана. Contents Введение Поверхность уровня Определение Примеры Свойства линий уровня Задача 1 Задача 2 Задача 3 Градиент Определение Аналитический и геометрический смысл градиента Смешанные производные Матрица вторых производных (Гессиан) Формула Тейлора для функции нескольких переменных Теорема о неявной функции Экстремальные задачи функции нескольких переменных Необходимое условие экстремума Положительная и отрицательная определенность симметричной матрицы Достаточное условие экстремума Пример Экстремумы при ограничении Пример	-
Lecture 14	Экстремумы функции при наличии ограничений Продолжение темы экстремальных задач функции нескольких переменных. Рассматриваются задачи на поиск экстремума функции при ограничениях. Contents Введение Необходимое условие экстремума. Теорема Лагранжа Пример Достаточное условие экстремума. Матрица вторых производных функции Лагранжа Общая схема нахождения локальных экстремумов функции при наличии ограничений Задача	-
Тест 7 36 minutes	12 tasks	-
Lecture 15	Локальный экстремум функции при наличии ограничений. Функциональные последовательности В лекции рассматриваются задачи на поиск локального экстремума функции. Вводится понятие функциональной последовательности и ее предела. Contents Введение Примеры по теме Неявные функции Задачи на поиск локального экстремума Задача 1 Задача 2 Задача 3 Решение задачи 3 при помощи перехода к полярным координатам Функциональные последовательности Определение функциональной последовательности Предел функциональной последовательности. Точки сходимости функциональной последовательности Пример	-
Lecture 16	Равномерная сходимость функциональной последовательности. Функциональные ряды Продолжение темы "Функциональные последовательности". Понятие равномерной сходимости функциональной последовательности. Из лекции вы узнаете, что такое функциональный ряд и признак сходимости функционального ряда. Contents Введение Равномерная сходимость Определение равномерной сходимости функциональной последовательности Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости Пример 1 Пример 2 Теорема о равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций Пример Функциональный ряд Определение Признак Вейерштрасса (признак равномерной сходимости функционального ряда)	-
Тест 8 36 minutes	12 tasks	-
Lecture 17	Функциональные ряды (продолжение). Дифференциальные уравнения В этой лекции вы узнаете, что такое степенной ряд и каковы условия его сходимости. В лекции рассматриваются задачи, которые помогут вам усвоить теоретическую информацию рассмотренную ранее. Лекция познакомит вас с теорией дифференциальных уравнений 1-го порядка и с основными видами этих уравнений, которые определяют способ решения дифференциального уравнения. Contents Введение Признак Вейерштрасса Примеры Пример 1 Пример 2 Степенные ряды Определение Пример 1 Формула Стирлинга Пример 2 Пример 3 Теорема о сходимости степенного ряда Примеры Задачи Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка Определение дифференциального уравнения Решение дифференциального уравнения 1-го порядка Уравнения с разделяющимися переменными Однородные уравнения Однородные и неоднородные линейные уравнения	-
Lecture 18	Задача Коши и ее решение В этой лекции вы познакомитесь с задачей Коши и ее решением, узнаете, что такое максимальное решение задачи Коши. Ознакомитесь с примерами и решениями заданий на данную тему. Contents Введение Задача Коши Определение задачи Коши Решение задачи Коши Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши Пример Определение продолжения решения задачи Коши Максимальное решение задачи Коши Примеры Пример 1 Пример 2 Пример 3	-
Тест 9 36 minutes	12 tasks	-
5 hours	Экзамен	-

User login

Navigation

Who's online

Online users

Information

Mathematical Analysis

Supplementary courses

План занятий