Экономико-математические модели и принятие решений

Примеры типовых макроэкономических моделей

Модель межотраслевого баланса (модель В. Леонтьева). Каждая из n отраслей производит свой (обобщенный) продукт. Выпуск распределяется в заданной пропорции между конечным потреблением, другими отраслями и внутренними потребностями отрасли. Кроме того, описывается прирост производственных мощностей. Модель описывается уравнениями:

\[ \upsilon_j(t)=\sum_{j=1}^n \left[a_{ij} \upsilon_j(t)+b_{ij}\frac{dV_j(t+ \tau_i)}{dt}\right]+P_j(t), i=1,2,\dots, n \]

где \[ \upsilon_j(t) \] - поток выпуска продукта \[ i \] в момент времени \[ t \] (единица измерения = единица продукта / единица времени);

\[ V_j(t) \] - мощность \[ i \] - го производства или максимальный выпуск;

\[ P_j(t) \] - поток конечного (непроизводственного) потребления;

\[ a_{ij} \] - коэффициенты прямых сырьевых затрат (количество продукта \[ i \] , необходимое для производства продукта \[ j \] );

\[ b_{ij} \] - количество фондообразующего продукта \[ i, \] идущее на единичный прирост мощности в отрасли \[ j \] ;

\[ \tau_j \] - продолжительность строительства мощности в отрасли \[ j . \]

Таким образом, выпуск \[ \upsilon_j(t) \] расходуется на покрытие сырьевых и фондообразующих затрат и конечное потребление.

Эконометрические модели народного хозяйства (типа Брукингской и Уортоновской). В основе этих моделей лежат: 1) балансовые соотношения; 2) функциональные зависимости - производственная функция и функция потребительского спроса.

Производственная функция \[ F \] задает зависимость национального дохода \[ Y \] от стоимости основных фондов (капитала) \[ K \] и от используемых трудовых ресурсов \[ L \] :

\[ Y(t)=F[K(t), L(t)] \]

Функция спроса \[ P=S(c,q) \] задает зависимость вектора \[ Р \] конечного потребления, т.е. набора потребляемых товаров, от вектора с цен на эти товары и дохода \[ q \] .

Паутинообразные модели имеют дело с динамикой спроса и предложения. Пусть \[ D \] - спрос, \[ S \] - предложение, \[ P \] - цена, \[ P* \] - равновесная цена, \[ X \] - объем производства, \[ X* \] - равновесный объем производства. Равновесные \[ P* \] и \[ X* \] находят из условия совпадения спроса и предложения \[ D(P)=S(P) \] .

Однако более реалистичной является гипотеза запаздывания предложения. Например, пусть при цене в прошлый период \[ P_{t-1} \] объем предложения в данный период есть \[ S(t)=S(P_{t-1}) \] . Считаем, что цена \[ P_t \] устанавливается на рынке так, чтобы был куплен весь объем выпущенной продукции \[ X_t. \] Следовательно,

\[ X_t=D(P_t)=S(P_{t-1}) \]

Пусть спрос и предложение достаточно точно описываются линейными функциями от цены

\[ D=\alpha_a P\\ S=\beta +bP \]

Такое предположение вполне естественно, если в модели рассматривается окрестность точки равновесия, а функции спроса и предложения гладкие. Тогда

\[ X_t=\alpha+aP_t=\beta+bP_{t-1} \]

Равновесие наступает, когда

\[ X^*=\alpha+a P^*=\beta+b P^* \]

Вычитая (1) из (2), получаем, что

\[ X*-X_t=a(P^*-P_t)=b(P^*-P_{t-1}) \]

Обозначим \[ x_t=X^*-X_t; p_t=P^*-P_t \] - отклонения от равновесия. Из (3) получим \[ x_t=ap_t=bp_{t-1} \] , откуда \[ p_t=\frac b a p_{t-1} \] Решение этого уравнения имеет вид \[ p_t=p_0(\frac b a)^t \]

В зависимости от того, чему равно \[ \frac b a \] , получим либо затухающие колебания \[ (|\frac b a|)<1 , \] сходящиеся к \[ P=P^* \] и \[ X=X^* \] , либо колебания c возрастающей амплитудой \[ (|\frac b a|) \] . В промежуточном случае \[ a=b \] амплитуда колебаний постоянна.

Тот же результат справедлив и в модели с непрерывным временем. Будем считать, что спрос меняется не только в зависимости от цены, но и в зависимости от ее динамики, т.е.

\[ D=D(P, \frac{dP}{dt}); S=S(P) \]

Тогда аналогом (13.1) является уравнение \[ X=\alpha+a P+a_1\frac{dP}{dt}=\beta +bP \] , решением которого является \[ p+p_0 e^{ct} \]

В рассматриваемых моделях считалось, что производители ожидают, что цена останется, как в предшествующий период (и устанавливают объем изготавливаемого товара исходя из этих ожиданий). Модель может быть усовершенствована. Для установления объема изготавливаемого товара производителям более реалистично считать, что в момент времени \[ t \] цена на товар будет равна \[ P_{t-1}- \rho(P_{t-1}-P_{t-2}) \] , где \[ 0<\rho <1 \] , т.е. цена изменится в направлении, обратном тому, в котором она изменялась в прошлый период. Тогда \[ X_t=\alpha+aP_t=\beta+b(1- \rho)P_{t-1}+b \rhoP_{t-2} \] , следовательно, \[ x_t=ap_t=b(1-\rho)p_{t-1}+b\rho p_{t-2} \]

Дальнейшее развитие модели состоит во введении в нее запасов. Ожидая повышения цен, продавцы создают запасы товара.

Запасы в момент времени \[ t \] обозначим \[ Q_t \] . Тогда изменение запасов за период времени от t-1 до t есть \[ Q_t-Q_{t-1}=S_t-D_t \] . В модели цену можно устанавливать различными способами, например, \[ P_t=P_{t-1}-\lambda(Q_{t-1}-Q_{t-2}) \] или \[ P_t=P_{t-1}-\lambda(Q_{t-1}-Q*) \] , где \[ Q* \] - запасы в точке равновесия. В первом случае получим \[ P_t=P*+(P_0-P*)c^t \] , где \[ c=1-\lambda(b-a) \] , а во втором - \[ P_t=(2-\lambda(b-a))P_{t-1}-P_{t-2} \] .

Модель экономического цикла. Сначала рассмотрим простую модель без учета запаздывания, а также без учета экспорта-импорта, налогов и государственных расходов.

\[ C=(1-s)Y+A \] \[ DK=\gamma (\nu Y-K) \] \[ DY+\lambda (C+DK_Y) \]

где \[ D=\frac{d}{dt} \] - символ операции дифференцирования; \[ Y \] - реальный чистый доход, \[ C \] - реальное потребление, \[ K \] - объем основного капитала, \[ A,s<1, \nu, \gamma, \lambda \] - положительные константы. Более точно, \[ Y \] - сумма всех видов конечных доходов, полученных в народном хозяйстве, деленная на индекс инфляции (т.е. реальный валовой национальный продукт за вычетом затрат на возмещение основного капитала); \[ C \] - общие затраты на потребительские товары конечных покупателей в народном хозяйстве, деленные на индекс инфляции; K - объем основного капитала всего народного хозяйства (в сопоставимых ценах).

Уравнение (4) вытекает из теории Кейнса, а именно, из соотношения: потребление = национальный доход - сбережения + автономное потребление. Значит, \[ sY \] - часть дохода, идущая на сбережения, \[ s \] - предельная склонность к сбережениям, \[ A \] - автономное потребление (та доля потребления, которая не зависит от дохода, своеобразный прожиточный минимум).

Уравнение (5) допускает несколько интерпретаций. Рассмотрим две из них.

1. В первой интерпретации \[ DK \] - это норма капитальных вложений в основной капитал. Допустим, существует оптимальный объем основного капитала и он равен некоторой доле от национального дохода - \[ \nu Y \] , где \[ \nu \] - оптимальное соотношение "капитал-выпуск". Тогда уравнение (5) означает, что норма капитальных вложений в основной капитал пропорциональна превышению оптимального объема основного капитала над действительным.

2. Основное соотношение, описывающее капитальные вложения, имеет вид:

\[ \frac{DK}{K}=\gamma(\frac{P}{(1+c)rK}-1) \]

где P - реальная прибыль, \[ r \] - норма процента, \[ c \] - премия за риск. Из соотношения (7) легко получить (5).

В уравнении (6) \[ DY=\frac{dY}{dt} \] - рост производства (поскольку все производство = всему доходу = \[ Y \] ). Рост производства зависит от избытка спроса. Потребление ( \[ С \] ) + накопление (оно превращается в капитальные вложения \[ DK \] ) - чистый национальный доход ( \[ Y \] ) - это и есть избыток спроса (то, что потребляется и накопляется, может быть не равно чистому доходу).

Для равновесной системы все производные по времени равны 0. Равновесные значения \[ Y, C \] и \[ K \] таковы:

\[ \dot Y=\dot C=\frac A s \] \[ \dot K=\frac{\nu A}{s} \]

Этот результат не предназначен для непосредственного практического использования, т.к. в модели не учитываются ограничения на выпуск, накладываемые рабочей силой и объемом основного капитала. Однако он нужен, чтобы найти отклонения от равновесия \[ Y=Y*+B_1e^{x_1t}-B_2e^{x_2t} \] - решение системы (4)-(5)-(6)-(8)-(9), где \[ B_1, B_2 \] зависят от \[ \lambda, \gamma, \nu, s \] . В зависимости от \[ B_1 \] и \[ B_2 \] получим согласно теории линейных дифференциальных уравнений следующие четыре варианта траекторий \[ Y \] : 1) незатухающие колебания (экономические циклы); 2) затухающие колебания; 3) взрывоподобные колебания; 4) взрывоподобная, но не колебательная траектория.

Довольно часто в экономике реально осуществляется приближение к первому варианту - экономические циклы.

Усложним модель, введем запаздывание. В модели (4)-(6) предполагается мгновенная реакция потребления на изменение дохода. На самом деле это неверно. Вместо уравнения (4) напишем

\[ DC=\alpha((1-s)Y+A-C) \]

где \[ \alpha \] - параметр, определяющий быстродействие системы.

Теперь добавим запасы. Вместо уравнения (6) получим

\[ DY=\lambda (C+DK-Y)+\mu (S^0-S) \] \[ S^0=b(C+DK)+c \] \[ DS+Y_C_DK \]

где \[ S^0 \] - оптимальный уровень запасов, равен некоторой постоянной величине + часть потребления и капитальных вложений, \[ S \] - фактический уровень запасов. Уравнение (11) отражает тот факт, что рост производства зависит от избытка спроса и от превышения оптимальных запасов над фактическими. (Уравнения (10) и (11) аналогичны соответствующим соотношениям для паутинообразных моделей.)

Добавим в систему экспорт-импорт, налоги и государственные расходы. Теперь с учетом (11)-(13) получим модель в виде системы уравнений

\[ DC=\alpha((1-s)(Y-T)+A-C) \] \[ DK=\gamma(\nu Y-k) \] \[ DY=\lambda(C+DK+G+E-I-Y)+ \mu (S^0-S) \] \[ S^0=b(C+DK+G+E)+c \] \[ DS=Y+I-E-G-C-DK \] \[ I=m(C+DK+G+E) \] \[ T=\tau Y-B \]

где \[ I \] - реальный импорт, \[ T \] - реальный объем налогов за вычетом государственных трансфертных платежей, \[ E \] - реальный экспорт, \[ G \] - реальные государственные расходы на товары и услуги.

В уравнении (14) национальный доход, идущий на потребление и накопление, уменьшился на сумму налогов, т.е. по сравнению с (10) произошла замена \[ Y\to Y-T \] .

Далее заметим, что теперь \[ C \] - общее потребление товаров как отечественного, так и импортного производства, а \[ DK \] теперь есть рост основного капитала частного сектора. Накопление основного капитала частного сектора входит в \[ G \] .

Уравнение (16) отличается от (11) на величину \[ G+E-I \] , т.к. \[ DY \] - рост производства зависит от избытка спроса, который теперь равен тому, что общество расходует (т.е. потребляет ( \[ C \] ) + вкладывает ( \[ DK \] ) + экспорт ( \[ E \] ) + государственные расходы ( \[ G \] )) за вычетом того, что общество получает (национальный доход ( \[ Y \] ) + импорт ( \[ I \] )).

Уравнение (17) предполагает, что желаемый уровень запасов есть линейная функция валового сбыта, а валовой сбыт это: 1) сбыт потребительских товаров отдельным потребителям \[ C \] ; 2) сбыт капитальных благ фирмам (капитальные вложения) \[ DK \] ; 3) сбыт товаров в государственном секторе \[ G \] ; 4) сбыт иностранным производителям \[ E \] .

Уравнение (18) означает, что изменение запасов равно всем товарам \[ (Y+I) \] минус весь сбыт \[ (C+DK+G+E) \] .

Уравнение (19) предполагает, что импорт - это доля всего сбыта.

Уравнение (20) предполагает, что налоги - линейная функция доходов, тогда \[ \tau \] - аналог процентной ставки. То, что в уравнении имеется отрицательная константа \[ B \] , говорит о том, что \[ \frac T Y \] - возрастающая функция , т.е. чем больше доход, тем больше налог.

При решении системы (14)-(20) выяснилось, в частности, что введение налогов и импорта оказывает на экономику стабилизирующее воздействие.