Описание точечных процессов

Далее мы рассматриваем только простые точечные процессы, то есть, исключаем множественное прибытие, например, одновременное поступления двух вызовов. Для телефонных звонков это обеспечивается выбором достаточно малого интервала времени. Рассмотрим времена поступления вызова, где i -тый вызов поступает в момент времени \[ Т_i \] :

\[ 0=T_0 < T_1 < T_2 < \dots < T_i < T_{i+1} < \dots. \]

Первое наблюдение происходит в момент времени \[ Т_0 = 0 \] .

Число вызовов в полуоткрытом интервале \[ [0, t] \] обозначим как \[ N_t \] . Здесь \[ N_t \] - случайная переменная с непрерывными параметрами времени и дискретным пространством. С увеличением \[ t N_t \] никогда не уменьшаются.

Интервалы времени между двумя последовательными поступлениями заявок:

\[ X_i=T_i-T_{i-1}, i=1,2,\dots. \]

Это называется временем интервала, а распределение этого процесса называется распределением времени интервала.

Интервалы времени могут быть отображены двумя типами случайных переменных \[ N_t \] и \[ X_i, \] а два процесса могу быть охарактеризованы двумя способами.

1. Числовое представление \[ N_t \] : при этом способе временной интервал \[ t \] сохраняется постоянным, и мы наблюдаем случайную переменную \[ N_t \] для числа вызовов в интервале \[ t \] .

   

   
   Рис. 5.1. Процесс поступления вызовов на входящих линиях транзитной станции.
2. Представление с помощью интервала \[ Т_i \] : при этом способе число поступлений вызова сохраняется постоянным, а мы наблюдаем случайную переменную \[ Т_i \] для временного интервала до тех пор, пока не поступят \[ п \] заявок. Фундаментальные отношения между этими двумя представлениями отображаются следующим простым отношением:

\[ T_n=\sum_{i=1}^n \begin{matrix} N_t < n, & if\\ X_i \ge t, & n=1,2, \dots \end{matrix} \lright \} \]

Это может быть выражено формулой Феллера-Дженсена (Feller-Jensen's).

\[ p\{N_t < n\}=p\{ T_n \ge t\}, n=1,2,\dots \]

Анализ точечного процесса может быть основан на обоих этих представлениях. В принципе они эквивалентны. Представление с помощью интервала соответствует обычному анализу временных рядов. Если мы, например, рассмотрим \[ i = 1 \] , то получим математическое ожидание вызова, иначе говоря, статистику, основанную на поступлении вызова.

Числовое представление не имеет никакой аналогии с анализом временных рядов. Статистические данные, которые мы получаем, вычисляются в единицу времени, в результате получается математическое ожидание по времени (сравните разницу между потерями по вызовам и потерями по времени).

Статистика интересов при изучении точечных процессов может быть классифицирована согласно этим двум представлениям.

Основные свойства числового представления

Есть два свойства, которые представляют теоретический интерес.

1. Общее количество поступлений в интервале \[ [t_1, t_2] \] равно

   \[ N_{t2}-N_{t1}. \]

   Среднее число вызовов в одном и том же самом интервале называется функцией обновления \[ Н \] :

   \[ H(t_1, t_2)=E\{N_{t2}-N_{t1}\}.H(t_1, t_2)=E\{N_{t2}-N_{t1}\} \] .

2. Плотность поступлений вызова за время \[ t \] (математическое ожидание времени):

   \[ \lambda_t=lim_{\Delta t \to 0}\frac{N_{t+ \Delta t}-N_t}{\Delta t}=N_t'. \]

   Мы предполагаем, что \[ \lambda_t \] существует и конечна. Мы можем интерпретировать \[ \lambda_t \] как интенсивность, с которой происходит поступление заявок за время \[ t \] (сравните с материалом секции 3.1.2). Для простых точечных процессов мы имеем:

   \[ p\{N_{t+\Delta t}-N_t \ge 2\}=o(\Delta t) \] , \[ p\{N_{t+\Delta t}-N_t =1\}=\lambda_t \Delta t+o(\Delta t) \] , \[ p\{N_{t+\Delta t}-N_t =0\}=1- \lambda_t \Delta t+o(\Delta t) \]

   где, по определению,

   \[ lim_{\Delta t \to 0}\frac{o(\Delta t)}{\Delta t}=0 \]

3. Индекс рассеяния для расчетов, (IDC - Index of Dispersion for Counts). Чтобы описывать свойства второго порядка числового представления, мы используем индекс рассеяния для расчетов - IDC. Он описывает отклонения процесса поступления вызовов в течение временного интервала \[ t \] и определяется как:

   \[ IDC=\frac{Var\{N_t\}}{E\{N_t\}}. \]

   Разделив временной интервал \[ t \] на интервалы продолжительностью \[ t=x \] , наблюдая число событий в течение этих интервалов, мы получаем оценку IDC (t). Для Пуассоновского процесса IDC равен единице. IDC равен "пиковости", свойство, которое мы введем позже, чтобы характеризовать число занятых каналов в процессе обслуживания нагрузки (7.7).

Основные свойства представления с помощью интервала

1. Распределение \[ f(t) \] временных интервалов \[ Х_i(5.2) \] (свертка самого распределения времен интервалов \[ i- 1 \] для времени до \[ i \] - ого поступления ).

   \[ F_i(t)=p\{X_i \le t\} \] , \[ E\{X_i\}=m_{1,i} \]

   Средняя величина - математическое ожидание вызова. Процесс возобновления - точечный процесс, где последовательные интервалы поступления стохастические независимы друг от друга и имеют то же самое распределение (исключая \[ X_1 \] ), то есть \[ m_{1,i}=m_i \] ( IID = Identically and Independently Distributed - Тождественно и Независимо Распределенный ).
2. Распределение \[ V(t) \] временного интервала от случайной точки до первого поступления заявки. Средняя величина \[ V(t) \] - математическое ожидание времени, которое рассчитывается на единицу времени.

3. Индекс рассеяния для интервалов, IDI. Чтобы описывать свойства второго порядка для представления с помощью временных интервалов, мы используем Указатель Дисперсия Интервалов, IDI. Он определяется как:

   \[ IDI=\frac{Var\{X_i\}}{E\{X_i\}^2,} \]

   где \[ X_i \] - интервал поступления.

   Для Пуассоновского процесса, который имеет экспоненциально распределенное время обслуживания, IDIстановятся равными единице. IDI равен коэффициенту формы Пальмы - минус единица (3.10). Вообще, IDI получить из наблюдений более трудно, чем IDC. IDI более чувствителен к точности измерений и к процессу сглаживания нагрузки. Для наблюдения IDC более подходит цифровая технология, но она усложняет наблюдение IDI (Лекция 15).

Какое из рассмотренных двух представлений нужно использовать на практике, зависит от конкретного случая? Это можно проиллюстрировать следующими примерами.

Пример 5.1.1: Методы измерения

Измерение рабочих характеристик телетрафика проводятся одним из двух основных методов.

1. Пассивные измерения. Измерение оборудования делается путем записи числа поступления заявок в регулярные временные интервалы, начиная с последней записи. Это метод сканирования, который очень подходит для компьютеров. Он соответствует числовому представлению, где временной интервал постоянный (устанавливается в начале).
2. Активные измерения. При измерении оборудования записывается событие в тот момент, когда оно происходит. Мы запоминаем число событий, фиксируем и наблюдаем измеряемый интервал. Это соответствует представлению с помощью интервала, где мы получаем статистику каждого отдельного вызова.

Пример 5.1.2: Испытательные вызовы

Исследование качества нагрузки на практике проводится двумя способами.

1. Качество нагрузки оценивается по результатам собранной статистики сделанных испытательных вызовов к заданному (испытательному) абоненту. Вызовы генерируются независимо от фактической нагрузки в течение часа наибольшей нагрузки. Испытательное оборудование записывает числа блокированных вызовов и т.д. Полученная статистика соответствует критерию качества работы - математическому ожиданию времени. К сожалению, этот метод увеличивает предложенную нагрузку на систему. Теоретически полученные рабочие характеристики измерений будут отличаться от истинных значений.
2. Испытательное оборудование собирает данные о числе вызовов \[ N, 2N,3N, \dots \] , где, например, \[ N= 1000 \] . Характер нагрузки не изменяется, и статистика рабочих характеристик - математическое ожидание вызова.

Пример 5.1.3: Статистика вызова

Абонент оценивает качество работы станции по той части вызовов, которые не установлены, то есть по математическому ожиданию не прошедших вызовов. Оператор оценивает качество по соотношению времени, когда все направления заняты, то есть по математическому ожиданию времени. Часто путают эти два типа средних значений (время/вызов), составляя противоречивые инструкции.

Пример 5.1.4: Вызываемый абонент занят (В-Занят)

Когда на телефонной станции 10 % абонентов заняты, то 20 % попыток вызовов получают отказ из-за занятости В (вызываемый абонент занят). Это явление можно объяснить тем фактом, что половина абонентов является пассивной (то есть не делает никаких попыток вызова и не получает никаких вызовов), тогда как 20 % остающихся абонентов заняты. G. Lind (1976 [73]) анализировал проблему исходя из предположений, что на каждого абонента в среднем приходится одно и то же число входящих и исходящих вызовов. Если средняя величина и коэффициент формы распределения абонента - \[ b \] и \[ \varepsilon \] , соответственно, то вероятность, что вызов - это попытка пройти к занятому абоненту \[ b \cdot \varepsilon \] .