Средние издержки (на единицу времени) таковы:

\[ f(T;y)=\frac1 T \left\{gn(T)+\frac{\mu s T^2}{2n(T)}\right\}=g\frac{n(T)}{T}+\mu s\frac{T}{2n(T)} \]

Итак, минимизация средних издержек - это задача дискретной оптимизации. На третьем этапе построения оптимального плана необходимо найти натуральное число \[ n(T) \] - самое выгодное число поставок.

Поскольку к моменту \[ Т \] запас товара должен быть израсходован, то общий объем поставок за время \[ T \] должен совпадать с общим объемом спроса, следовательно, равняться \[ \mu T. \] Справедливо балансовое соотношение (аналог закона Ломоносова-Лавуазье сохранения массы при химических реакциях):

\[ Q_n(T)T=\mu T \]

Из балансового соотношения следует, что

\[ \frac{n(T)}{T}=\frac{\mu}{Q} \]

Средние издержки (на единицу времени) можно выразить как функцию размера партии \[ Q \] :

\[ f(T;y)=g\frac{n(T)}{T}+\mu s\frac{T}{2n(T)}=f_1(Q)=\frac{\mu g}{Q}+\frac{sQ}{2} \]

Задача состоит в минимизации \[ f_1(Q) \] по \[ Q \] . При этом возможная величина поставки принимает дискретные значения, \[ Q\in \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2, \dots \right\} \]

Изучим функцию \[ f_1(Q) \] , определенную при \[ Q>0 \] . При приближении к 0 она ведет себя как гипербола, при росте аргумента - как линейная функция. Производная имеет вид

\[ \frac{df_1(Q)}{dQ}=-\frac{\mu g}{Q^2}+\frac s 2 \]

Производная монотонно возрастает, поэтому рассматриваемая функция имеет единственный минимум в точке, в которой производная равна 0, т.е. при

\[ Q_0=\sqrt{\frac{2\mu g}{s}} \]

Получена знаменитая "формула квадратного корня".

В литературе иногда без всяких комментариев рекомендуют использовать напряженный план, в котором размеры всех поставляемых партий равны \[ Q_0 \] . К сожалению, получаемый таким путем план почти всегда не является оптимальным, т.е. популярная рекомендация неверна или не вполне корректна. Дело в том, что почти всегда

\[ Q\not \sum_{i=1}^nin \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2, \dots \right\} \]

Всегда можно указать неотрицательное целое число \[ n \] такое, что

\[ Q_1=\frac{\mu T}{n+1}<Q_0 \le \frac{\mu T}{n}=Q_2 \]

Утверждение 3. Решением задачи оптимизации

\[ f_1(Q)=\frac{\mu g}{Q}+\frac{sQ}{2}\to min,\\ Q\in \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2, \dots \right\} \]

является либо \[ Q_1 \] , либо \[ Q_2 \] .

Действительно, из всех \[ Q\in \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2, \dots \right\} \] часть лежит правее \[ Q_0 \] , из них наименьшим является \[ Q_2 \] , а часть лежит левее \[ Q_0 \] , из них наибольшим является \[ Q_1 \] . Для построения оптимального плана обратим внимание на то, что производная функции \[ f_1(Q) \] отрицательна левее \[ Q_0 \] и положительна правее \[ Q_0 \] , следовательно, функция средних издержек \[ f_1(Q) \] убывает левее \[ Q_0 \] и возрастает правее \[ Q_0 \] . Значит, минимум по \[ Q\in \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2, \dots \right\}\bigcap\{Q;Q\leQ_0\} \] достигается при \[ Q = Q_2 \] , а минимум по \[ Q\in \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2, \dots \right\}\bigcap\{Q;Q<Q_0\} \] - при \[ Q = Q_1 \] Последнее утверждение эквивалентно заключению утверждения 3.

Итак, алгоритм построения оптимального плана таков.

1. Найти \[ Q_0 \] по формуле квадратного корня (34).
2. Найти n из условия (35).
3. Рассчитать \[ f_1(Q \] ) по формуле (33) для \[ Q = Q_1 \] и \[ Q = Q_2 \] , где \[ Q_1 \] и \[ Q_2 \] определены в (35).
4. Наименьшее из двух чисел \[ f_1(Q_1) \] и \[ f_1(Q_2) \] является искомым минимумом, а то из чисел \[ Q_1 \] и \[ Q_2 \] , на котором достигается минимум - решением задачи оптимизации. Обозначим его \[ Q_{opt} . \]

Оптимальный план поставки - это напряженный план, в котором объемы всех поставок равны \[ Q_{opt} \] .

Замечание. Если \[ f_1(Q_1) = f_1(Q_2) \] , то решение задачи оптимизации состоит из двух точек \[ Q_1 \] и \[ Q_2 \] . В этом частном случае существует два оптимальных плана.

Пример 1. На складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 5 т продукции. Плата за хранение 1 т продукции в день - 50 руб. Плата на доставку одной партии - 980 руб. Горизонт планирования - 10 дней. Найти оптимальный план поставок.

В рассматриваемом случае \[ \mu \] =5 (т/день), \[ s \] =50 (руб./т.день), \[ g \] =980 (руб./партия), \[ Т \] = 10 (дней). По формуле (34) рассчитываем

\[ Q_0=\sqrt{\frac{2\mu g}{s}}=\sqrt{\frac{2*5*980}{50}}=\sqrt{196}=14 \]

Множество допустимых значений для \[ Q \] имеет вид

\[ \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2,\dots \right\}=\left\{50; \frac{50}{2}; \frac{50}{3}; \frac{50}{4}; \dots \right\}=\{50; 25; 16,67; 12,5;\dots \} \ \]

Следовательно, \[ Q_1 = 12,5 \] и \[ Q_2 = 16,67 \] . Первое значение определяет напряженный план с четырьмя одинаковыми зубцами, а второе - с тремя. Поскольку

\[ f-!(Q)=\frac{5*980}{Q}=\frac{50Q}{2}=\frac{4900}{Q}=25Q \]

то

\[ f_1(Q_1)=f_1(12,5)=\frac{4900}{12,5}+25*12,5=392+312,5=704,5 \]

и

\[ f_1(Q_2)=f_1(50/3)=\frac{4900*3}{50}+25*\frac{50}{3}=294+416.67=710,67 \]

Поскольку \[ f_1(Q_1) < f_1(Q_2) \] , то \[ Q_{opt} = Q_1 = 12,5 \] . Итак, оптимальным является напряженный план с четырьмя зубцами.

Как уже отмечалось, часто рекомендуют применять план поставок с \[ Q=Q_0 \] . Каков при этом проигрыш по сравнению с оптимальным планом?

Для плана с \[ Q=Q_0 \] интервал между поставками составляет \[ Q_0/\mu=14/5=2.8 \] дня. Следовательно, партии придут в моменты \[ t_0 = 0; t_1= 2,8; t_2 = 5,6; t_3 = 8,4 \] . Следующая партия должна была бы придти уже за пределами горизонта планирования \[ Т =10 \] , в момент \[ t_4 = 11,2 \] . Таким образом, график уровня запаса на складе в пределах горизонта планирования состоит из трех полных зубцов и одного не полного. К моменту \[ Т =10 \] пройдет \[ 10 - 8,4 = 1,6 \] дня с момента последней поставки, значит, со склада будет извлечено \[ 5*1,6=8 \] т продукции и останется \[ 14 - 8 = 6 \] т. План с \[ Q=Q_0 \] не является напряженным, а потому не является оптимальным для горизонта планирования \[ Т =10 \] .

Подсчитаем общие издержки в плане с \[ Q=Q_0 \] . Площадь под графиком уровня запаса на складе равна сумме площадей трех треугольников и трапеции. Площадь треугольника равна \[ \frac{14*2.8}{2}=19,6 \] трех треугольников - 58,8. Основания трапеции параллельны оси ординат и равны значениям уровня запаса в моменты времени \[ t_3 = 8,4 \] и \[ Т =10 \] , т.е. величинам 14 и 6 соответственно. Высота трапеции лежит на оси абсцисс и равна \[ 10 - 8,4 = 1,6 \] , а потому площадь трапеции есть \[ \frac{(14+6)*1,6}{2}=16 \] Следовательно, площадь под графиком равна \[ 58,8 + 16 = 74,8 \] , а плата за хранение составляет \[ 50*74,8=3740 \] руб.

За 10 дней доставлены 4 партии товара (в моменты \[ t_0 = 0; t_1= 2,8; t_2 = 5,6; t_3 = 8,4 \] ), следовательно, затраты на доставку равны \[ 4*980=3920 \] руб. Общие издержки за 10 дней составляют \[ 3740+3920 = 7660 \] руб., а средние издержки - 766 руб. Они больше средних издержек в оптимальном плане в \[ 766/704,5 = 1,087 \] раза, т.е. на 8,7%.

Отметим, что

\[ f_1(Q_0)=\frac{4900}{Q_0}+25Q_0=4900/14+25*14=350+350=700 \]

т.е. меньше, чем в оптимальном плане. Таким образом, из-за дискретности множества допустимых значений средние издержки возросли на 4,5 руб., т.e. на 0,64%. При этом оптимальный размер партии (12,5 т) отличается от \[ Q_0 = 14 \] т на 1,5 т, т.е. \[ Q_{opt}/Q_0 = 0,89 \] - различие на 11%. Достаточно большое различие объемов поставок привело к пренебрежимо малому изменению функции \[ f_1(Q) \] . Это объясняется тем, что в точке \[ Q_0 \] функция \[ f_1(Q) \] достигает минимума, а потому ее производная в этой точке равна 0.

Оба слагаемых в \[ f_1(Q_0) \] равны между собой. Случайно ли это? Покажем, что нет. Действительно,

\[ \frac{\mu g}{Q_2}=\frac{\mu g}{\sqrt{\frac{2 \mu g}{s}}}=\sqrt{\frac{\mu gs}{2}};\\ \frac{sQ_0}{2}=\frac{\sqrt{\frac{2\mu g}{3}}}{2}=\sqrt{\frac{\mu gs}{2}} \]

образом, составляющие средних издержек, порожденные различными причинами, уравниваются между собой.

Средние издержки в плане с \[ Q=Q_0 \] равны \[ \sqrt{2\mu gs} \] . Интервал между поставками при этом равен

\[ \frac{Q_0}{\mu}=\frac{\sqrt{\frac{2\mu g}{s}}}{\mu}=\sqrt{\frac{2g}{\mus}} \]

Издержки в течение одного интервала между поставками таковы:

\[ \sqrt{2\mu gs*\sqrt{\frac{2g}{\mu s}}}=2g \]

при этом половина (т.е. \[ g \] ) приходится на оплату доставки партии, а половина - на хранение товара.