Вероятность и генетика

Приведем примеры использования деревьев в генетике. С помощью дерева можно наглядно представить наследование пары генов \[ \overline{G} \] и \[ g \] , передаваемых родителями. Потомок получает эти гены в одной из комбинаций: \[ \overline{G}\overline{G},gg \] или \[ \overline{G}g \] . Генетически комбинация \[ \bar{G}g \] не отличается от комбинации \[ g\overline{G} \] .

В генетике допускается, что наследование данного гена происходит случайно, независимо и с равными вероятностями для всех потомков (у растений, например, их может быть очень много). Пусть ген \[ \overline{G} \] наследуется (и от отца, и от матери) с вероятностью \[ p \] , ген \[ g \] — с вероятностью \[ q \] . В этом случае отца в смысле унаследования гена можно уподобить, например, одной бросаемой монете, мать — второй (рис. 13.3). Тогда \[ p+q=1 \] .

Рис. 13.3.

Далее будем полагать, что \[ p=q=\frac{1}{2} \] . Заметим, что у таких "генеалогических" деревьев вершины, если они не висячие и не корневые, имеют степень 3.

Теперь от родителей перейдем к "дедушкам" и "бабушкам" и продлим дерево еще на один ярус.

Когда сочетаются браком двоюродные брат и сестра, они могут передать своему ребенку копии пар генов, которыми обладали их общие дедушка и бабушка (возможными мутациями этих генов пренебрегаем).

Считая, что в общем случае неизвестно численное значение вероятности \[ p_{0} \] того, что потомок наследует от своих родителей пару одинаковых генов \[ \overline{G}\overline{G} \] или \[ g\overline{g}, \] определим в зависимости от \[ p_{0} \] вероятность унаследования общей пары генов от общего дедушки.

Граф, описывающий ситуацию, которая нас интересует, в случаях так называемого кровного родства деревом не является — две его висячие вершины "слипаются" (рис. 13.4).

Рис. 13.4.

Введем коэффициент кровного родства по формуле \[ k=p_{d}+(1-p_{d})p_{0} \] , где \[ p_{d} \] — вероятность того, что оба гена \[ C \] являются копиями генов \[ \overline{G} \] . При этом оказывается, что вероятность \[ p_{d} \] нетрудно подсчитать.

Рассмотрим один из генов, который \[ C \] унаследовал от своего отца \[ A \] . Вероятность того, что \[ A \] унаследовал этот ген от своего деда \[ D \] , равна \[ \frac{1}{2} \] . Вероятность того, что дедушка передал копию того же гена \[ B \] , также равна \[ \frac{1}{2} \] , и вероятность того, что \[ B \] передал копию этого гена \[ C \] , равна \[ \frac{1}{2} \] . Все эти события независимые, и, следовательно, \[ p_{d} =(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8} \] .

\[ k=\frac{1}{8}+\frac{7}{8} p_{0} \] .

Рассмотренный пример дает некоторое представление о расчетах, связанных с проблемами сохранения в потомстве желательных признаков прародителей: вывода сортов пшеницы, пород собак, голубей, домашних животных, искусственного восстановления вымирающих пород животных. Все эти проблемы разные по роли и значимости, но они имеют общую математическую суть.