Контрпример
31. Провести подробно доказательство выводимости в интуиционистском исчислении высказываний всех перечисленных формул.
С другой стороны, многие законы классической логики перестают быть выводимыми без закона исключенного третьего. Таковы, например, формулы
![\begin{align*}
&\lnot\lnot p \to p,\\
& p \lor \lnot p,\\
&\lnot p \lor \lnot\lnot p,\\
&(\lnot q\to \lnot p) \to (p\to q),\\
&\lnot (p\land q) \to (\lnot p\lor\lnot q),\\
&((p\lor q)\to p) \lor ((p \lor q)\to q).
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/87888dc41af26e3db0b8e9e71ade1eea.png)
![p](/sites/default/files/tex_cache/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![q](/sites/default/files/tex_cache/7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png)
![p](/sites/default/files/tex_cache/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![q](/sites/default/files/tex_cache/7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png)
![p](/sites/default/files/tex_cache/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![\lnot A](/sites/default/files/tex_cache/a414400e0df0de19da16af04bd59965e.png)
![\lnot\lnot\lnot A \to \lnot A](/sites/default/files/tex_cache/c53072d8be28f8bbf5bc25cff16d2c09.png)
Довольно ясно, что эти формулы не согласуются с интуиционистским
подходом. Например, в предпоследней формуле говорится, что если
мы опровергли предположение , то мы можем указать
на одно из предположений
и
и предъявить его
опровержение. Вряд ли такой переход можно считать обоснованным с
интуиционистской точки зрения. Но, разумеется, формальный вопрос
о выводимости требует формального ответа.
Начнем с закона исключенного третьего.
Теорема 24.Формула не выводима в интуиционистской логике.
В классической логике каждая пропозициональная переменная может
принимать два значения — истина ( И ) и ложь ( Л ). В зависимости
от значений переменных каждой формуле также приписывается
значение И или Л. Расширим множество истинностных значений,
добавив новое значение Н (если угодно, можно считать это
сокращением слова "неизвестно"). Мы отождествляли И с
единицей, а Л — с нулем, так что логично отождествить Н с
числом .
Мы докажем, что интуиционистски выводимые формулы всегда
принимают значение И, а формула не такова, и
потому не выводима.
Чтобы определить значения формул в
трехзначной логике, необходимо задать таблицы истинности
для всех пропозициональных связок. Конъюнкцию определим как
минимум из двух значений (так что, например, ,
а
), а дизъюнкцию — как максимум. Отрицание
действует так:
,
,
. (Последнее может показаться странным: почему бы не считать, что
? Оказывается, так нельзя — например, потому, что
тогда формула
, которая выводима в
интуиционистской логике, будет иметь значение
при
.)
Сложнее всего определение истинности для импликации. Мы полагаем, что
![(\text{И}\to x)=x \quad\text{и}\quad (\text{Л}\to x)=\text{И}](/sites/default/files/tex_cache/6bf62dda423ec3a428385273559cead0.png)
![x](/sites/default/files/tex_cache/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![(\text{Н}\to\text{Л})=\text{Л}, \quad (\text{Н}\to\text{Н})=\text{И} \text{ и }(\text{Н}\to\text{И})=\text{И}.](/sites/default/files/tex_cache/1099740a0e1aeed7306882d62a2085d9.png)
Назовем формулу -тавтологией,
если она принимает значение И при любых значениях переменных из множества
. Теперь надо проверить две вещи: (1) все аксиомы
интуиционистского исчисления являются
-тавтологиями; (2)
если посылка импликации и вся импликация являются
-
тавтологиями, то и заключение тоже является
-тавтологией.
Второе сразу ясно из определения импликации, а первое надо
аккуратно проверять, составив таблицы для всех аксиом. Мы не
будем этого подробно делать, поскольку это чисто механическая
проверка и поскольку чуть позже мы сможем вывести это из более
общего утверждения.
Следовательно, всякая интуиционистски выводимая формула является -тавтологией. Теперь заметим, что формула
принимает значение Н при
и потому не является
-тавтологией — значит, невыводима.
32. Покажите, что всякая -тавтология является тавтологией
в обычном смысле.
Использованный нами прием годится не всегда. Например,
интуиционистски невыводимая формула
является
-тавтологией, поскольку (согласно нашему
определению) формула
может принимать только значения И и Л.
33. Какие из перечисленных нами интуиционистски невыводимых
формул являются -тавтологиями?
Более общий способ установления недоказуемости (невыводимости) различных формул доставляют шкалы Крипке (или модели Крипке, как еще говорят).
Чтобы задать шкалу Крипке, нужно:
- указать частично упорядоченное множество
, называемое множеством миров;
- для каждого мира указать, какие из пропозициональных переменных
считаются истинными в этом мире (остальные переменные считаются
ложными в этом мире). Если переменная
истинна в мире
, мы пишем
.
При этом требуется, чтобы было выполнено следующее: если и
, то
(область
истинности любой переменной наследственна вверх).
Когда шкала задана, можно определить истинность любой формулы (в
данном мире) индукцией по построению формулы. Мы пишем , если в мире
истинна формула
. Вот
индуктивное определение:
-
, если
и
;
-
, если
или
;
-
, если в любом мире
, в котором истинна формула
, истинна также и формула
;
-
, если ни в каком мире
формула
не является истинной.
Формула, не являющаяся истинной (в данном мире), называется ложной (в нем).
Определение истинности для отрицания, как легко проверить,
согласовано с пониманием как
, где
— тождественно ложная (во всех мирах) формула.
Именно определение импликации (и отрицания) использует порядок на множестве миров. Если формула содержит лишь конъюнкции и дизъюнкции, то ее истинность по существу определяется отдельно в каждом мире.
Индукцией по построению формулы легко проверить, что если
она истинна в каком-то мире, то истинна и во всех больших
мирах. В самом деле, пересечение и объединение двух
наследственных вверх множеств также обладает этим свойством, так
что для случая конъюнкции и дизъюнкции можно сослаться на
предположение индукции. А для импликации даже и этого не нужно,
достаточно посмотреть на определение.
Философский смысл шкал Крипке иногда объясняют так. Пусть
есть множество возможных состояний цивилизации (миров);
означает, что мир
может получиться из мира
в
результате развития цивилизации. Утверждение
означает, что в
мире
установлено, что высказывание
истинно. (При
этом оно останется истинным и при дальнейшем развитии цивилизации.)
Истинность
в мире
означает, что ни при
каком развитии цивилизации из состояния
высказывание
не станет истинным.
Определение истинности отрицания в шкалах Крипке предвосхитил
Пушкин, когда писал "нет правды на земле. Но правды нет и
выше, " (Моцарт и Сальери).
34.Во что превращается определение истинности в шкале Крипке, если в ней только один мир? если в ней никакие два мира не сравнимы?