НОУ ИНТУИТ | Основы дискретной математики. Лекция 4: Эквивалентность формул и нормальные формы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Тверской государственный университет

Опубликован: 21.08.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3252 / 337 | Оценка: 4.08 / 3.92 | Длительность: 15:40:00

ISBN: 978-5-9556-0110-6

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 37 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы

Определение ДНФ и КНФ

В этом разделе мы интересуемся представлением произвольной булевой функции посредством формул специального вида, использующих только операции $\wedge,$ $\vee$ и $\neg.$

Пусть $\mathbf{X}=\{X_1,\ldots, X_n\}$ - это множество пропозициональных переменных. Введем для каждого i=1,...,n обозначения: $X_i^0= \neg X_i$ и X_i^1= X_i . Формула $X_{i_1}^{\sigma_1}\wedge X_{i_2}^{\sigma_2}\wedge \ldots \wedge X_{i_k}^{\sigma_k}(X_{i_1}^{\sigma_1}\vee X_{i_2}^{\sigma_2}\vee \ldots \vee X_{i_k}^{\sigma_k})$ , в которой $\sigma_{i_j} \in \{0,1\}$ и все переменные разные, т.е. $X_{i_j} \neq X_{i_r}$ при $j \neq r$ , называется элементарной конъюнкцией ( элементарной дизъюнкцией ).

Определение 4.2. Формула $\mathcal{D}$ называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), если она является дизъюнкцией элементарных конъюнкций, т.е. имеет вид $\mathcal{D}= K_1 \vee K_2\vee \ldots \vee K_r$ , где каждая формула $K_j\ ( j=1,...,r)$ - это элементарная конъюнкция . $\mathcal{D}$ называется совершенной ДНФ, если в каждую из ее конъюнкций K_j входят все переменных из $\mathbf{X}$ . Аналогично, формула $\mathcal{C}$ называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ), если она является конъюнкцией элементарных дизъюнкций, т.е. $\mathcal{C}= D_1 \vee D_2\vee \ldots \vee D_r$ , где каждая формула D_j (j=1,...,r) - это элементарная дизъюнкция . Она является совершенной КНФ, если в каждую D_j входят все n переменных из $\mathbf{X}$ .

Совершенные ДНФ и КНФ

Рассмотрим произвольную булеву функцию f(X₁,...,X_n) , зависящую от переменных из $\mathbf{X}$ . Oбозначим через N_f⁺ множество наборов значений переменных, на которых f принимает значение 1, а через N_f^- множество наборов, на которых f принимает значение 0, т.е. $N_f^+= \{(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)\ |\ f(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)=1\}$ и $N_f^-= \{(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)\ |\ f(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)=0\}$ .

Определим по этим множествам две формулы:

$\mathcal{D}_f = \bigvee_{(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)\in N_f^+} X_1^{\sigma_1}\wedge X_2^{\sigma_2}\wedge \ldots \wedge X_n^{\sigma_n}$

и

$\mathcal{C}_f = \bigwedge_{(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)\in N_f^-} (X_1^{\neg\sigma_1}\vee X_2^{\neg\sigma_2}\vee \ldots \vee X_n^{\neg\sigma_n})$

Теорема 4.1.

Если функция f не равна тождественно 0, то формула $\mathcal{D}_f$ - это совершенная ДНФ, задающая функцию f.
Если функция f не равна тождественно 1, то формула $\mathcal{C}_f$ - это совершенная КНФ, задающая функцию f.

Доказательство получается непосредственным вычислением значения каждой из указанных формул с учетом того, что для любого $\sigma \in \{ 0, 1\}$ имеют место равенства: $1^{\sigma } = \sigma$ и $0^{\sigma } = \neg \sigma$ (см. задачу 4.4).

Следствие 4.1.1. Каждая булева функция может быть задана формулой, содержащей переменные и функции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Приведенные выше формулы для $\mathcal{D}_f$ и $\mathcal{C}_f$ позволяют эффективно строить совершенные ДНФ и КН по табличному представлению функции f (Каким образом?). Можно ли получить такие специальные представления по произвольной формуле, задающей f, не выписывая ее полной таблицы? Приводимая ниже процедура позволяет это сделать, используя основные эквивалентности формул.

Процедура Приведение к совершенной ДНФ

Вход: формула $\Phi,$ включающая функции $\neg , \wedge , \vee , \to$ и +.

Используя эквивалентность (7), заменить все вхождения функции $\to$ в $\Phi$ на $\neg , \wedge$ и $\vee,$ затем использовать эквивалентность (8) для замены всех вхождений функции + на $\neg , \wedge$ и $\vee.$
Используя законы де Моргана (5) и снятия двойного отрицания (4), внести все знаки отрицания внутрь скобок так, чтобы все оставшиеся отрицания находились непосредственно перед переменными.
Получившаяся после шага (2) формула имеет одну из двух форм:
- $\Phi^\prime = \Phi_1 \wedge \Phi_2$ или
- $\Phi^\prime = \Phi_1 \vee \Phi_2$ .
Поскольку каждая из формул $\Phi _{1}$ , $\Phi _{2}$ имеет меньшую глубину, чем формула $\Phi '$ , то предположим по индукции, что для них уже построены эквивалентные ДНФ $D_1=K_1^1 \vee K_1^2\vee \ldots \vee K_1^r$ и $D_2=K_2^1 \vee K_2^2\vee \ldots \vee K_2^s$ , соответственно.

Тогда в случае (а) имеем:

$\Phi^\prime \equiv (K_1^1 \vee \ldots \vee K_1^r)\wedge (K_2^1 \vee \ldots \vee K_2^s)\underset{(3)}{\equiv}\\(K_1^1\wedge K_2^1)\vee \ldots \vee (K_1^i\wedge K_2^j)\vee \ldots \vee (K_1^r\wedge K_2^s)$

Каждый член $(K_1^i\wedge K_2^j)$ этой дизъюнкции представляет собой конъюнкцию переменных и их отрицаний. Применяя эквивалентности групп (1), (2) и (6), можно удалить из нее повторения переменных, после чего она превратится в некоторую элементарную конъюнкцию или константу. Проделав такие преобразования со всеми парами (i,j), 1 <= i <= r, 1 <= j <= s, и удалив, если потребуется, константы 0, мы получим ДНФ, эквивалентную исходной формуле $\Phi.$

В случае (б) формула $\Phi^\prime \equiv (K_1^1 \vee K_1^2\vee \ldots \vee K_1^r)\vee (K_2^1 \vee K_2^2\vee \ldots \vee K_2^s)$ сама уже является ДНФ.
Используя эквивалентности групп (1), (2) и (6), удалить из получившейся после шага (3) формулы повторные вхождения одинаковых конъюнкций.
Пусть после шага (4) получилась ДНФ $\Phi^{\prime\prime}= K_1 \vee K_2 \vee \ldots \vee K_m$ . Чтобы получить эквивалентную совершенную ДНФ, построим для каждой K_i (i=1,..., m) , эквивалентную совершенную ДНФ (см. задачу 4.5),заменим ею K_i , а затем устраним повторения одинаковых конъюнкций.

Из формулировок эквивалентностей (7) и (8) непосредственно вытекает

Предложение 4.1. На этапе (1) процедуры при последовательном выполнении преобразований (7), а затем - (8), до тех пор, пока ни одно из них не применимо, полученная в результате формула не будет содержать функций $\to$ и +.

Доказательство этого предложения оставляем в виде упражнения (см. задачу 4.7).

Следующее утверждение гарантирует корректность этапа (2).

Предложение 4.2. На этапе (2) процедуры при любом порядке выполнения преобразований групп (4) и (5) до тех пор, пока ни одно из них не применимо, в полученной в результате формуле все знаки отрицания будут стоять непосредственно перед переменными.

Перед доказательством этого утверждения введем некоторые обозначения. Напомним, что в определениях 3.2 и 3.3 для каждой формулы $\Phi$ была определена ее глубина $dep(\Phi )$ . Например, формула $\Phi =\neg (X+Y)\to (\neg (X \vee \neg Z)\wedge Y)$ , построенная над системой $F=\{ \vee , \wedge , \neg , \to , +\}$ , имеет глубину $dep(\Phi )=5$ .

Пусть $\Phi$ - это формула над $F=\{ \vee , \wedge , \neg \}$ . Определим для каждой ее "отрицательной" подформулы вида $\neg (\Psi )$ высоту $h(\neg (\Psi ))$ как $3^{dep(\Psi )}-1$ . И пусть высота всей формулы $H(\Phi )$ равна сумме высот всех ее отрицательных подформул. Например, для приведенной выше формулы $\Phi$ ее высота равна $H(\Phi )= h(\neg (X+Y)) +h(\neg (X \vee \neg Z))+ h(\neg Z) = (3^{1}-1) + (3^{2}-1) +(3^{0}-1) = 10$ .

Доказательство предложения 4.2 проведем индукцией по высоте формул.

Базис индукции. Если $H(\Phi )=0$ , то либо в $\Phi$ нет отрицаний, либо все отрицания находятся непосредственно перед переменными. Следовательно, $\Phi$ удовлетворяет требованию предложения 4.2.

Шаг индукции. Предположим, что при n <= k для всех формул высоты n Предложение 4.2 выполнено. Пусть $\Phi$ - произвольная формула высоты $H(\Phi )= k+1$ . Докажем наше утверждение для нее. Поскольку $H(\Phi )\ge 1$ , то $\Phi$ содержит хотя бы одну отрицательную подформулу $\neg (\Psi )$ , у которой $h(\neg (\Psi ))\ge 1$ и, следовательно, $dep(\Psi ) \ge 1$ . К такой формуле обязательно можно применить либо снятие двойного отрицания (4), либо один из законов де Моргана (5). ( Объясните почему.) Пусть $\neg (\Psi )$ - это та подформула $\Phi,$ которая на (2)-ом этапе процедуры первой заменяется на эквивалентную формулу $\Psi '$ в соответствии с одной из указанных эквивалентностей. Пусть $\Phi '$ - это формула, получившаяся в результате этой замены из $\Phi.$ Нетрудно проверить (проделайте эту проверку!), что при любом из преобразований (4), (5) $H(\Psi ') < H(\neg (\Psi ))$ и, следовательно, $H(\Phi ') < H(\Phi )$ . Тогда $H(\Phi ')\le k$ и по предположению индукции применение эквивалентностей (4), (5) в произвольном порядке приведет в конце концов к формуле, у которой все отрицания будут стоять непосредственно перед переменными. Тем самым, предложение 4.2 выполнено при n=k+1, что завершает индукционный шаг и все доказательство.

Рассмотрим применение процедуры приведения к совершенной ДНФ на примере.

Пример 4.1. Пусть формула $\Phi= ((\neg X\vee Z) \rightarrow (Y \rightarrow (X + Z)))$ .

На (1)-ом этапе процедуры получаем следующую цепочку эквивалентностей:

$\Phi \underset{(7)}{\equiv} \neg (\neg X\vee Z) \vee (Y \rightarrow (X + Z))\underset{(7)}{\equiv} \neg (\neg X\vee Z) \vee (\neg Y \vee (X+Z)) \underset{(8)}{\equiv}\\ \neg (\neg X\vee Z) \vee (\neg Y \vee ((X \wedge \neg Z) \vee (\neg X \wedge Z))).$

На (2)-ом этапе вносим отрицание внутрь первой скобки и получаем формулу

$\Phi^\prime=(\neg \neg X \wedge \neg Z)\vee (\neg Y \vee ((X \wedge \neg Z) \vee (\neg X \wedge Z)))$

Устранив двойное отрицание, получим

$\Phi^{\prime\prime}=( X \wedge \neg Z)\vee (\neg Y \vee ((X \wedge \neg Z) \vee (\neg X \wedge Z))).$

Нетрудно видеть, что это уже ДНФ. Удалим на (4)-ом этапе повторное вхождение первой конънкции и получим ДНФ

$\Phi_1=( X \wedge \neg Z)\vee \neg Y \vee(\neg X \wedge Z)$

Эта ДНФ не является совершенной, так как в каждую из ее трех конъюнкций входят не все переменные. Построим на этапе (5) для них эквивалентные совершенные ДНФ (используя решение задачи 4.5).

$\begin{array}{l} (X \wedge \neg Z)\equiv ( X \wedge Y\wedge \neg Z)\vee ( X \wedge\neg Y \wedge \neg Z),\\ \neg Y \equiv (X\wedge \neg Y \wedge Z)\vee (X\wedge \neg Y \wedge \neg Z)\vee (\neg X\wedge \neg Y \wedge Z)\vee (\neg X\wedge \neg Y \wedge \neg Z),\\ (\neg X \wedge Z) \equiv (\neg X\wedge Y \wedge Z)\vee (\neg X\wedge \neg Y \wedge Z). \end{array}$

Подставив эти формулы в $\Phi _{1}$ и устранив повторения конъюнкций, получим совершенную ДНФ, эквивалентную исходной формуле $\Phi:$

$\Phi_2=( X \wedge Y\wedge \neg Z)\vee ( X \wedge\neg Y \wedge \neg Z) \vee (X\wedge \neg Y \wedge Z)\vee \\ (\neg X\wedge \neg Y \wedge Z)\vee (\neg X\wedge \neg Y \wedge \neg Z)\vee (\neg X\wedge Y \wedge Z).$

Мы видим, что ДНФ $\Phi _{1}$ , полученная после 4-го этапа, выглядит существенно проще, т.е. является более короткой, чем совершенная ДНФ $\Phi _{2}$ . Однако совершенные ДНФ и КНФ обладают важным свойством единственности, которое следует из их конструкции в теореме 4.1.

Следствие 4.1.2. Для каждой булевой функции от n переменных, не равной тождественно 0, существует единственная с точностью до перестановки конъюнкций и переменных внутри конъюнкций совершенная ДНФ, задающая эту функцию.

Это следствие позволяет предложить следующую процедуру для проверки эквивалентности формул $\Phi$ и $\Psi.$

Построить для $\Phi$ и $\Psi$ эквивалентные совершенные ДНФ $\Phi '$ и $\Psi '$ используя процедуру приведения к совершенной ДНФ.
Упорядочить в соответствии с нумерацией переменных X вхождения переменных в каждую конъюнкцию, а затем лексикографически упорядочить между собой конъюнкции, входящие в $\Phi '$ и $\Psi '$ . Пусть в результате получатся совершенные ДНФ $\Phi ''$ и $\Psi ''$
Если $\Phi '' = \Psi ''$ , то выдать ответ "Да", иначе - ответ "Нет".

Замечание. Аналогичную процедуру можно построить с использованием совершенных КНФ.

Дальше >>

Авторизоваться

Основы дискретной математики

Эквивалентность формул и нормальные формы

Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы

Определение ДНФ и КНФ

Совершенные ДНФ и КНФ

Вопросы и ответы